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[박형주의 세나수｜세상에 나쁜 수학은 없다]역문제, 결과에서 원인 찾기

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작성자 작성자 : 행복이이 연락처 연락처 : E-mail E-mail : djnfgsdj344hg@naver.com 댓글 0건 조회 16회 작성일 26-05-07 11:58

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최근 데이터 과학과 의료 공학 분야에서 뜨겁게 주목받는 수학 분야를 꼽으라면 단연 ‘역문제(Inverse Problem)’일 것이다. 원인에서 결과를 도출하는 통상의 ‘정방향’ 사고 과정에 비해, 역문제는 나타난 결과로부터 보이지 않는 원인을 거꾸로 추적해가는 지적 추론 과정이다.
수학적으로는, 주어진 함수 y=f(x)에서, x라는 입력값이 주어졌을 때 y를 구하는 것은 명쾌한 정방향 문제다. 하지만 우리가 관측할 수 있는 데이터가 오직 결과물인 y뿐일 때, 보이지 않는 x를 찾아내는 과정은 훨씬 복잡하고 정교한 계산을 요구한다.
밝은 태양 아래 서 있는 물체가 있다면, 그 물체의 모양에 따라 지면에 그림자가 생기는 것은 자연스러운 정방향 문제다. 반대로 바닥에 비친 일그러진 그림자의 모양만을 보고, 그 그림자를 만들어낸 원래 물체의 입체적인 형상을 완벽하게 복원해내는 것이 바로 역문제다.
어두운 밤길에서 들려오는 발소리만으로 상대방의 체격이나 신발 종류를 짐작하는 것, 혹은 굳게 닫힌 상자를 흔들었을 때 들리는 소리로 내용물을 추측하는 행위가 모두 역문제의 범주에 속한다.
역문제의 중요성을 가장 피부로 느낄 수 있는 분야는 의료 현장이다. 1979년 노벨 생리의학상을 안겨준 컴퓨터 단층촬영(CT)은 역문제 해결의 정점이라 할 수 있다. CT의 원리는 명쾌하다. 신체에 X선을 쏘면 뼈처럼 밀도가 높은 곳은 강도가 많이 줄어들고, 근육처럼 밀도가 낮은 곳은 적게 줄어든다. 이 ‘감쇠율’ 데이터가 바로 우리가 얻는 ‘결과’다. 그 원인, 즉 인체의 내부 모양을 추정하는 것은 전형적인 역문제다.
1917년 오스트리아의 수학자 요한 라돈은 ‘라돈 변환’을 통해 단면의 넓이들로부터 입체의 모양을 복원하는 수학적 기틀을 마련했다. 당시에는 구현할 기술이 없었으나, 수십년 뒤 공학자들의 손을 거쳐 수많은 생명을 구하는 의료장비로 거듭났다.
우주의 끝에서 암세포의 위치까지
역문제는 인간의 시선이 닿지 않는 곳에서도 빛을 발한다. 1846년 발견된 해왕성이 대표적이다. 당시 천문학자들은 천왕성의 궤도가 계산과 다르게 움직이는 현상(결과)을 관찰하고, 보이지 않는 거대 행성의 중력(원인)을 역으로 계산해 해왕성의 위치를 정확히 맞혔다.
현대에 들어서는 아르헨티나의 수학자 알베르토 칼데론이 제기한 ‘칼데론 문제’가 역문제의 새로운 지평을 열었다. 물체 표면에서 측정한 전압 데이터를 통해 내부의 전기 전도율을 알아내는 이 이론은 ‘전기 임피던스 단층촬영(EIT)’으로 이어졌다. 암세포는 정상 조직보다 전기 전도율이 4~5배 높기 때문에, 몸에 전극을 붙여 전압 분포의 왜곡을 측정하면 칼을 대지 않고도 암의 크기와 위치를 파악할 수 있다.
물론 역문제 해결이 늘 순탄한 것은 아니다. 곱해서 12가 되는 숫자 조합이 여러 개이듯, 하나의 결과에 대해 원인이 여러 개이거나 정보가 부족한 문제(ill-posed problem)가 발생하기도 한다.
1966년 수학자 마크 카츠는 “드럼 소리만 듣고 드럼의 모양을 알 수 있는가?”라는 질문을 던졌다. 결론은 ‘알 수 없다’였다. 서로 다른 모양의 드럼이 같은 주파수를 낼 수 있기 때문이다.
이러한 모호성은 때로 ‘스텔스기’처럼 적의 탐지(역문제 해결)를 방해하는 기술로 응용되기도 한다.
정보가 부족해 답이 명확하지 않은 역문제를 해결하기 위해 현대 수학은 ‘최적화 기법’과 ‘인공지능(AI)’을 사용한다.
인류의 한계 돌파하는 지적 열쇠
수많은 데이터 속에서 가장 개연성 있는 원인을 찾아내는 AI의 학습 방식은 본질적으로 거대한 역문제를 푸는 과정과 닮아 있다. 강아지와 고양이의 사진을 보고 특징을 추출해 분류하는 AI는, 사실 ‘이미지’라는 결과로부터 ‘객체의 정체’라는 원인을 찾아내고 있는 셈이다.
보이지 않는 것을 보게 하고, 현상 너머의 본질을 탐구하는 역문제는 단순한 수학의 한 분야를 넘어 인류의 한계를 돌파하는 지적 열쇠가 되었다.
심해의 지형을 탐사하고, 인체 내부의 비밀을 밝히며, 인과관계의 실타래를 거꾸로 풀어가는 이 끈기 있는 수학적 여정은, 앞으로도 인류의 시야를 우리가 상상하지 못한 영역까지 확장해 나갈 것이다.
초등학교 운동회를 둘러싼 소음 민원이 인근 주민들 사이에서 끊이지 않고 있다. 지난해 서울시교육청이 서울시의회에 제출한 자료에 따르면, 서울 지역 초등학교 운동회 관련 소음 민원은 2018년 77건에서 2024년 214건으로 크게 늘었다. 경찰청이 최근 국회에 제출한 자료에 따르면 2025년 전국에서 학교 운동회와 관련해 접수된 민원은 350건에 달했다.
자신의 기준에서 거슬리는 아이들의 행동에 대한 어른들의 이런 반응은 어제오늘 일이 아니다. 식당이나 카페에서 아이들의 출입을 금하는 ‘노키즈존’은 이제 더 이상 별다른 이슈가 아닌 것처럼 느껴질 때도 있다. 전에는 애니메이션 상영관에 아이들이 시끄럽다면서 ‘노키즈관’을 요구하는 관객의 민원이 있었다. 아파트 놀이터 소음을 둘러싼 민원이 반복되자, 지난해 11월20일 기후에너지환경부는 “아이들의 자연스러운 놀이·체육 활동에서 발생하는 소리는 소음·진동관리법의 규제 대상이 아니다”라는 유권해석을 내놓았다. 장거리 비행에서 한국인 엄마가 아기의 울음으로 인한 불편을 우려해 승객들에게 미리 사과하며 귀마개와 간식이 담긴 선물 세트를 나눠줬다는 목격담이 미담처럼 전해지기도 했다.
하지만 솔직히 얘기해보자. 타인의 삶을 방해하는 이른바 ‘민폐’의 당사자는 대개 아이가 아니라 어른이다. 영화관에서 몰입을 방해하는 것은 아이들의 소음이 아니라, 상영 중에도 굳이 카카오톡을 확인하는 스마트폰 불빛인 경우가 더 많다. 아파트의 평온을 흔드는 것도 놀이터에서 뛰노는 아이들이 아니라, 관리규약에 ‘금연 건물’이라 명시돼 있음에도 공용계단이나 베란다에서 담배를 피우는 어른들 아닐까. 이코노미석으로 장거리 비행을 할 때 더 큰 불편을 유발하는 쪽은 어린아이의 울음일까, 아니면 좌석을 뒤로 끝까지 젖히려는 앞사람과 이에 반발해 일부러 좌석을 툭툭 건드리는 뒷사람 사이의 신경전일까.
대부분의 클래식 공연은 8세나 12세 등 연령 기준을 두고 그 이하 아이의 입장을 제한한다. 음악의 특성상 불가피한 조치로 여겨지기도 한다. 그러나 지난해 임윤찬이 산타 체칠리아 오케스트라와 협연한 무대에서 벌어진 ‘역대급’ 사건을 떠올려보면, 이야기는 조금 달라진다. 라벨의 피아노 협주곡 중 하필 고요한 2악장 연주 도중 스피커폰 소리를 울리며 밖으로 나간 사람은 어른 아니었나.
우리는 아이들에게는 ‘철들라’고 요구하면서도, 정작 철없는 어른에게는 관대하다. 아이들이 스마트폰에 빠져 있다고 걱정하지만, 어른이 된다고 해서 달라지지 않는다는 사실을 우리는 이미 알고 있다. 성인들 역시 잠들기 직전까지 침대에서 유튜브를 보며 그것이 숙면을 방해한다는 사실을 알면서도 멈추지 못한다. 출근길에 스마트폰에 고개를 파묻은 채 걷다가 다른 이의 발걸음을 막는 사람도 결국 어른이다.
정작 이런 어른들에 대해서는 제대로 된 조치가 이뤄지지 않는다. 초등학교 운동회가 사라지는 배경에는 민원이 자리하고 있지만, 운동회를 없앤다는 경우는 있어도 악성 민원에 대해 실질적인 조치를 취했다는 사례는 거의 없다. ‘노키즈존’을 찬성하거나 시행하는 측의 얘기를 들어보면, 문제의 핵심이 결국 아이들의 행동이 아니라 아이를 적절히 지도하고 통제하지 않는 어른에게 있다는 점을 어렵지 않게 확인할 수 있다. 하지만 그에 대한 대응으로 여전히 ‘노키즈존’을 얘기한다.
넬슨 만델라 전 남아프리카공화국 대통령은 1995년 5월 넬슨 만델라 아동기금 출범 행사에서 “어린이를 대하는 태도만큼 한 사회의 영혼을 적나라하게 보여주는 것은 없다”는 말로 연설을 시작했다. 당시는 남아공에서 아파르트헤이트가 철폐되고 처음으로 자유선거가 시행돼 만델라가 대통령에 당선된 지 1년 남짓 된 시점이었다. 오랜 시간 누적된 인종차별의 상처를 딛고 일어나, 어떤 의미에서는 모든 것을 새로 시작해야 하는 나라의 지도자가, 국가 재건이라는 절박한 과제 앞에서 어린이를 어떻게 대하고 키울 것인지 얘기했다.
초등학교 운동회를 둘러싼 논란은 악성 민원 문제에 그치지 않는다. 위헌으로 판단될 것이 거의 확실한 관리자 면책 조항을 둔다고 해소되지도 않을 것이다. 그보다 앞서 이 문제는 어린이를 대하는 한국 사회의 ‘영혼’을 보여준다. 건강한 사회라면 아이의 미숙함은 일정 부분 감내하고, 어른에게는 그 나이에 걸맞은 성숙을 요구해야 한다. 진정한 어른이라면 아직 배우고 경험할 기회가 더 필요한 아이들의 부족함은 감싸고, 공동체의 규범을 훼손하는 성인에 대해서는 단호해야 한다.
5월5일이다. 우리는 이래도 괜찮을까? 오늘 하루만큼은 머리 숙여 돌아볼 일이다.

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